Удоб­но будет счи­тать тре­уголь­ник ABD ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда от­ре­зок AC будет яв­лять­ся её вы­со­той. Тогда объем пи­ра­ми­ды V равен: Так как тре­уголь­ни­ки ABC и A₁B₁C₁ по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен то Тогда объем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды V₁ равен: Тогда объём остав­шей­ся части равен:

Ответ:

Удоб­но будет счи­тать тре­уголь­ник ABD ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, тогда от­ре­зок AC будет яв­лять­ся её вы­со­той. Тогда объем пи­ра­ми­ды V равен: Так как тре­уголь­ни­ки ABC и A₁B₁C₁ по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен то Тогда объем ма­лень­кой пи­ра­ми­ды V₁ равен: Тогда объём остав­шей­ся части равен:

Ответ:

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, S  — его вер­ши­на, O₁ и O₂  — точки, через ко­то­рые про­ве­де­ны плос­ко­сти. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник с про­ве­ден­ны­ми двумя от­рез­ка­ми  — диа­мет­ра­ми се­че­ний ко­ну­са двумя плос­ко­стя­ми. Эти се­че­ния пред­став­ля­ют собой круги, а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков в осе­вом се­че­нии сле­ду­ет, что их ра­ди­у­сы про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 1, 2, 3 (3 для из­на­чаль­но­го ко­ну­са).

Рас­смот­рим те­перь три ко­ну­са с вер­ши­ной в S и ос­но­ва­ни­я­ми  — кру­га­ми (два се­че­ния и из­на­чаль­ное ос­но­ва­ние). Пусть ра­ди­ус из­на­чаль­но­го ко­ну­са равен а вы­со­та тогда его объем со­став­ля­ет

Ана­ло­гич­но, объем ма­лень­ко­го ко­ну­са со­став­ля­ет а сред­не­го по­это­му объем сред­ней части равен

Ответ: 21.

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, S  — его вер­ши­на, O₁ и O₂  — точки, через ко­то­рые про­ве­де­ны плос­ко­сти. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник с про­ве­ден­ны­ми двумя от­рез­ка­ми  — диа­мет­ра­ми се­че­ний ко­ну­са двумя плос­ко­стя­ми. Эти се­че­ния пред­став­ля­ют собой круги, а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков в осе­вом се­че­нии сле­ду­ет, что их ра­ди­у­сы про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 1, 2, 3 (3 для из­на­чаль­но­го ко­ну­са).

Рас­смот­рим те­перь три ко­ну­са с вер­ши­ной в S и ос­но­ва­ни­я­ми  — кру­га­ми (два се­че­ния и из­на­чаль­ное ос­но­ва­ние). Пусть ра­ди­ус из­на­чаль­но­го ко­ну­са равен а вы­со­та тогда его объем со­став­ля­ет

Ана­ло­гич­но, объем ма­лень­ко­го ко­ну­са со­став­ля­ет а сред­не­го по­это­му объем сред­ней части равен

Ответ: 28.

От­се­чен­ный конус по­до­бен ис­ход­но­му, зна­чит, их объёмы от­но­сят­ся как куб от­но­ше­ния со­от­вет­ствен­ных ли­ней­ных раз­ме­ров. Объём усе­чен­но­го ко­ну­са равен двум объёмам всего ко­ну­са, зна­чит, ра­ди­у­сы их ос­но­ва­ний от­но­сят­ся как Тогда ис­ко­мый ра­ди­ус се­че­ния равен 6 см.

Если объём усе­чен­но­го ко­ну­са равен двум объёмам всего ко­ну­са, зна­чит, ра­ди­у­сы их ос­но­ва­ний будут от­но­сить­ся как тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са будет равен 6 см.

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и CD со­от­вет­ствен­но, тогда плос­кость SMN пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, по­сколь­ку SO пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и SN пер­пен­ди­ку­ляр­на CD. Опу­стим из O пер­пен­ди­ку­ляр на SN. Он будет ле­жать в плос­ко­сти MSN и по­то­му будет пер­пен­ди­ку­ля­рен CD. По­сколь­ку он еще и пер­пен­ди­ку­ля­рен SN, он будет пер­пен­ди­ку­ля­рен всей плос­ко­сти SCD. Зна­чит, SN  — про­ек­ция SO на грань SCD и по­то­му Зна­чит, и тре­уголь­ник SMN рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°.

Пусть K, E и F  — се­ре­ди­ны от­рез­ков SN, SC и SD со­от­вет­ствен­но. Тогда MK  — ме­ди­а­на и вы­со­та тре­уголь­ни­ка SMN. Кроме того, MK лежит в плос­ко­сти SMN, по­это­му MK пер­пен­ди­ку­ляр­на CD. Зна­чит, MK пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SCD.

Зна­чит, плос­кость ABK, со­дер­жа­щая ее, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SCD. По­сколь­ку EF па­рал­лель­на CD и AB и K при­над­ле­жит EF, точки E и F лежат в этой же плос­ко­сти и се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды будет тра­пе­ция ABEF.

Обо­зна­чим ребро ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды за 2a, тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды равна:

и объем пи­ра­ми­ды равен:

Най­дем те­перь объем пи­ра­ми­ды SABEF. За­ме­тим, что SK пер­пен­ди­ку­ляр­на MK и SK пер­пен­ди­ку­ляр­на FE, по­это­му SK  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Зна­чит,

Тогда объем вто­рой части пи­ра­ми­ды равен

На­ко­нец, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно

Ответ: 8 : 5.

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, M и N  — се­ре­ди­ны ребер DC и BA со­от­вет­ствен­но, тогда плос­кость SMN пер­пен­ди­ку­ляр­на BA, по­сколь­ку SO пер­пен­ди­ку­ляр­на BA и SN пер­пен­ди­ку­ляр­на BA. Опу­стим из O пер­пен­ди­ку­ляр на SN. Он будет ле­жать в плос­ко­сти MSN и по­то­му будет пер­пен­ди­ку­ля­рен BA. По­сколь­ку он еще и пер­пен­ди­ку­ля­рен SN, он будет пер­пен­ди­ку­ля­рен всей плос­ко­сти SBA. Зна­чит, SN  — про­ек­ция SO на грань SBA и по­то­му Зна­чит, и тре­уголь­ник SMN рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°.

Пусть K, E и F  — се­ре­ди­ны от­рез­ков SN, SB и SA со­от­вет­ствен­но. Тогда MK  — ме­ди­а­на и вы­со­та тре­уголь­ни­ка SMN. Кроме того, MK лежит в плос­ко­сти SMN, по­это­му MK пер­пен­ди­ку­ляр­на BA. Зна­чит, MK пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBA.

Зна­чит, плос­кость DCK, со­дер­жа­щая ее, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBA. По­сколь­ку EF па­рал­лель­на BA и DC и точка K при­над­ле­жит EF, точки E и F лежат в этой же плос­ко­сти и се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды будет тра­пе­ция DCEF.

Обо­зна­чим ребро ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды за 2a, тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды равна:

и объем пи­ра­ми­ды равен:

Най­дем те­перь объем пи­ра­ми­ды SDCEF. За­ме­тим, что SK пер­пен­ди­ку­ляр­на MK и SK пер­пен­ди­ку­ляр­на FE, по­это­му SK  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Зна­чит,

Тогда объем вто­рой части пи­ра­ми­ды равен:

На­ко­нец, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно:

Ответ: 3 : 5.

Найдём ра­ди­ус ос­но­ва­ния, зная пло­щадь: Так как се­че­ние делит вы­со­ту в от­но­ше­нии 2 : 3, то из по­до­бия тре­уголь­ни­ков спра­вед­ли­во от­но­ше­ние:

Итак, пло­щадь се­че­ния равна:

Ответ:

Найдём ра­ди­ус ос­но­ва­ния, зная пло­щадь: Так как се­че­ние делит вы­со­ту в от­но­ше­нии 4 : 5, то из по­до­бия тре­уголь­ни­ков спра­вед­ли­во от­но­ше­ние:

Итак, пло­щадь се­че­ния равна:

Ответ: